[读懂科学]破解数学界悬而未决60年的“爱因斯坦”难题

英国一名业余数学家终于找到了数学界悬而未决 60 年的难题“爱因斯坦（ein + stein）”的答案。人行道砖、墙纸、浴室瓷砖、建筑大理石等通常都是简单纹样按同一图案不断重复，看久了很难不觉得乏味。若想避免这种单调，就需要多种形状，施工也会随之变得复杂。对此感到厌倦的科学家们在过去 60 余年间一直在探究：能否只用一种形状、在不出现图案重复的前提下铺满无限大的平面？如今，他们终于得出了答案。

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当地时间 1 日，据国际学术期刊《自然》（Nature）报道，英国业余数学家 David Smith 及其研究团队证明了：存在一种 13 边形的“非周期性铺砖（aperiodic tiles）”，只用这一种形状、在没有任何重复图案的情况下，就可以无限铺满平面。Smith 及其团队此前已于 3 月 20 日在论文预印本网站 arXiv 上发表了类似研究结果。但当时 Smith 找到的非周期性铺砖并非一个，而是两个：一个是形似“帽子（hat）”的 13 边形砖块，另一个是其镜像左右颠倒后的砖块，必须这两种砖块同时存在，才能实现无图案重复的无限平面铺设。

而在上月 29 日，Smith 团队最终通过对原有 13 边形砖块的形状稍作修改，给出了新的研究结果：在不翻转砖块的前提下，也能在没有图案重复的情况下无限铺满平面。研究团队将他们设计出的这一图形称作“爱因斯坦”形状。这一名称一语双关，既指世纪天才物理学家爱因斯坦，又源自德语中“一块石头”（ein + stein）的含义，寓意用“单一图形”就能在不产生重复图案的情况下完全覆盖墙面。

研究团队在 3 月发表的论文中还证明，可以用多个这种 13 边形图形拼接成“元砖块（metatile）”，再把这些元砖块组合成更大的“超级砖块（Supertile）”，并以此无限延展，在这一过程中不会出现相同图案的重复。即便通过缩短或拉长各图形的边长等方式改变其尺寸，也同样可以在不形成重复图案的情况下铺满平面。

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自 20 世纪 60 年代起，寻找非周期性铺砖一直是数学界的一大难题。美国数学家 Robert Berger 在 1963 年证明，如果动用 2 万 426 种不同图形，就可以实现无图案重复的平面铺设。此后，1974 年，英国牛津大学教授 Roger Penrose 又证明，仅用两种形状也可以做到这一点。

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